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浮点数

06 Feb 2016

在计算机底层所有的数据都是二进制表示的，在C语言中，基本数据类型大致有以下几种：

char short int long float double

定点数的二进制表示

定点数的二进制表示很好理解，计组书上说过有符号整数的二进制表示法大致有四种：

  1. 原码
  2. 反码
  3. 补码
  4. 移码

现代计算机基本都采用补码来表示有符号数，而浮点数用到了移码，今天就来具体研究一下

下面的代码用于打印有符号整数的bit位

#include <stdio.h>
#include <string.h>

void pretty_print(char* str) {
  char buffer[256];
  char* p = buffer;
  int length = strlen(str);
  for (int i = 0; i < length; i++) {
    if (i > 0 && i % 8 == 0) {
      sprintf(p++, " ");
    }
    sprintf(p++, "%c", str[i]);
  }
  printf("%s\n", buffer);
}

void print_bits_of_int(int value) {
  const int size = sizeof(value) * 8;
  char buffer[size + 1];
  buffer[size] = '\0';
  for (int i = size - 1; i >= 0; i--) {
    int bit = value & (unsigned int) 1;
    buffer[i] = bit ? '1' : '0';
    value >>= 1;
  }
  pretty_print(buffer);
}

看看测试结果

int num;
num = 8;
print_bits_of_int(num); // 00000000 00000000 00000000 00001000
num = -8;
print_bits_of_int(num); // 11111111 11111111 11111111 11111000

负整数的补码是其相反数的按位取反加一

浮点数的二进制表示

浮点数又可以分为单精度浮点数和双精度浮点数两种，根据IEEE-754标准，一个二进制浮点数可以分为三个 部分：

  1. 符号位：用于表示正负，正数为0，负数为1
  2. 指数域：用于表示指数值，其实际值=编码值-偏移值，这就是移码表示法
  3. 尾数域：用于表示有效数位，只表示小数部分，整数部分一般为1而被省略

32位单精度数指数域有8位，尾数域有23位，即32=1+8+23
64位双精度数指数域有11位，尾数域有52位，即64=1+11+52

偏移值是一个固定值，它等于：\(2^{e-1}-1\)，其中\(e\)是指数域的位数
32位单精度数的偏移值是127
64位双精度数的偏移值是1023

浮点数的小数部分也是由二进制表示的，其最高位表示\(1/2\)，次高位表示\(1/4\)，以此类推直到 \(1/2^f\)，其中\(f\)是尾数域的位数

先测试单精度浮点数，因为float会隐式转化为int，因此需要借助指针

float num = 1;
int* addr = (int*) &num;
print_bits_of_int(*addr); // 00111111 10000000 00000000 00000000
// sign: 0
// exp : 01111111
// frac: 00000000000000000000000

指数域的编码值为127，减去偏移值，实际值为0，整体表示为：\(1.0*2^0\)

print_bits_of_float(0.0);
// 00000000 00000000 00000000 00000000
// 1.0*2^-127
print_bits_of_float(-0.0);
// 10000000 00000000 00000000 00000000
// -1.0*2^-127
print_bits_of_float(2.0);
// 01000000 00000000 00000000 00000000
// 1.0*2^1
print_bits_of_float(3.0);
// 01000000 01000000 00000000 00000000
// (1+0.5)*2^1

那现在我们就反过来验证一下：

对于小数\(18.75\)，可以表示为：\(1.171875*2^4\)
其中\(0.171875\)又可以表示为：\(1/8+1/32+1/64\)
因此 sign: 0 exp : 4+127=131 : 10000011 frac: \(1/8+1/32+1/64\) : 00101100 00000000 0000000 综合起来：01000001 10010110 00000000 00000000

print_bits_of_float(18.75);
// 01000001 10010110 00000000 00000000

结果和我们的推断是一致的

那么单精度浮点数所能表示的最大最小值是什么呢？可以先猜测：max=0x7fffffff，min=0xffffffff， 下面就验证一下

print_as_float(0x7fffffff); // nan
print_as_float(0xffffffff); // -nan

和我们的预期不一致，说明这是一个特殊值

特殊值

根据规范，浮点数有三种特殊值

  1. 指数域全0，尾数域全0，则为\(\pm0\)
  2. 指数域全1，尾数域全0，则为\(\pm\infty\)
  3. 指数域全1，尾数域不全0，则为\(\pm nan\)
// ------------ |s|  e   ||          f          |
print_as_float(0b00000000000000000000000000000000); // 0.000000
print_as_float(0b10000000000000000000000000000000); // -0.000000
print_as_float(0b01111111100000000000000000000000); // inf
print_as_float(0b11111111100000000000000000000000); // -inf
print_as_float(0b01111111100000100000000000000000); // nan
print_as_float(0b11111111100000001100000000000000); // -nan

最值

之前的问题还没解决呢，不过了解规则后就好办了，只要保证指数域不全为1，即可求得最大值与最小值

// ------------ |s|  e   ||          f          |
print_as_float(0b01111111011111111111111111111111); // 3.40e+38
print_as_float(0b11111111011111111111111111111111); // -3.40e+38

参考资料：
[1] wikipedia - Signed Number Representations
[2] wikipedia - Floating Number
[3] wikipedia - IEEE-754

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